Xác suất – Thống kê chương 5: Vector ngẫu nhiên

Cho vector ngẫu nhiên \(Z=(X,Y)^T\) với \(E(X)=2\), \(E(Y)=-1\). Vector kỳ vọng \(E(Z)\) bằng

A. \((2;-1)^T\)

B. \((-1;2)^T\)

C. \((1;1)^T\)

D. \((2;1)^T\)

Ma trận hiệp phương sai của \(Z=(X,Y)^T\) là \(\Sigma=\begin{pmatrix}4&1\\1&9\end{pmatrix}\). Phương sai \(\operatorname{Var}(Y)\) bằng

A. \(4\)

B. \(9\)

C. \(1\)

D. \(13\)

Cho \(\operatorname{Cov}(X,Y)=3\), độ lệch chuẩn \(\sigma_X=2\), \(\sigma_Y=3\). Hệ số tương quan \(\rho_{XY}\) bằng

A. \(1/3\)

B. \(2/3\)

C. \(1/2\)

D. \(1\)

Nếu \(X,Y\) độc lập và có phương sai hữu hạn thì \(\operatorname{Cov}(X,Y)\) bằng

A. \(1\)

B. \(\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)\)

C. \(E(X)E(Y)\)

D. \(0\)

Cho \(\operatorname{Cov}(X,Y)=2\). Hiệp phương sai \(\operatorname{Cov}(2X+1,-3Y+4)\) bằng

A. \(-12\)

B. \(-6\)

C. \(6\)

D. \(12\)

Cho \(\operatorname{Var}(X)=2\), \(\operatorname{Var}(Y)=5\), \(\operatorname{Cov}(X,Y)=-1\). Phương sai \(\operatorname{Var}(X+Y)\) bằng

A. \(3\)

B. \(5\)

C. \(7\)

D. \(9\)

Hai biến \(X,Y\) chỉ nhận \(0,1\), với \(P(X=1)=0{,}4\), \(P(Y=1)=0{,}5\), \(P(X=1,Y=1)=0{,}2\). Hiệp phương sai \(\operatorname{Cov}(X,Y)\) bằng

A. \(-0{,}2\)

B. \(0{,}1\)

C. \(0\)

D. \(0{,}2\)

Hàm \(f(x,y)=c\) trên tam giác \(x>0,y>0,x+y<1\), và bằng \(0\) ngoài tam giác, là mật độ đồng thời. Giá trị \(c\) bằng

A. \(1/2\)

B. \(1\)

C. \(4\)

D. \(2\)

Vector \((X,Y)\) phân bố đều trên tam giác \(x>0,y>0,x+y<1\). Xác suất \(P(X<Y)\) bằng

A. \(1/2\)

B. \(1/3\)

C. \(2/3\)

D. \(1/4\)

Vector \((X,Y)\) phân bố đều trên tam giác \(x>0,y>0,x+y<1\). Kỳ vọng \(E(X)\) bằng

A. \(1/2\)

B. \(1/3\)

C. \(1/4\)

D. \(2/3\)

Mật độ đồng thời của \((X,Y)\) là \(f(x,y)=4xy\) trên hình vuông \(0<x<1,0<y<1\), bằng \(0\) ngoài đó. Kết luận đúng là

A. \(X,Y\) có tương quan bằng \(1\)

B. \(X,Y\) phụ thuộc vì \(f\) chứa tích \(xy\)

C. \(X,Y\) độc lập, với mật độ biên đều là \(2x\) trên \((0;1)\)

D. \(X+Y=1\) gần chắc chắn

Vector số đếm \((N_1,N_2,N_3)\) có phân phối đa thức với \(n=10\) và xác suất nhóm \((0{,}2;0{,}3;0{,}5)\). Hiệp phương sai \(\operatorname{Cov}(N_1,N_2)\) bằng

A. \(0{,}6\)

B. \(6\)

C. \(-6\)

D. \(-0{,}6\)

Ma trận \(\Sigma=\begin{pmatrix}1&r\\r&4\end{pmatrix}\) là một ma trận hiệp phương sai hợp lệ khi và chỉ khi

A. \(|r|\le2\)

B. \(|r|\le1\)

C. \(r>0\)

D. \(r=0\)

Cho \(X,Y\) độc lập với \(\operatorname{Var}(X)=1\), \(\operatorname{Var}(Y)=4\). Đặt \(U=X+Y\), \(V=X-Y\). Hiệp phương sai \(\operatorname{Cov}(U,V)\) bằng

A. \(5\)

B. \(-3\)

C. \(3\)

D. \(-5\)

Trong thiết lập \(U=X+Y,V=X-Y\), với \(X,Y\) độc lập, \(\operatorname{Var}(X)=1\), \(\operatorname{Var}(Y)=4\), hệ số tương quan \(\rho_{UV}\) bằng

A. \(-3/4\)

B. \(-1/2\)

C. \(-3/5\)

D. \(3/5\)

Vector \((X,Y)\) có phân phối chuẩn hai chiều, \(E(X)=E(Y)=0\), \(\operatorname{Var}(X)=\operatorname{Var}(Y)=1\), hệ số tương quan \(\rho=0{,}6\). Kỳ vọng có điều kiện \(E(Y\mid X=2)\) bằng

A. \(0{,}6\)

B. \(0{,}8\)

C. \(2\)

D. \(1{,}2\)

Vector \((X,Y)\) có phân phối chuẩn hai chiều và \(\operatorname{Cov}(X,Y)=0\). Kết luận nào luôn đúng?

A. \(X,Y\) độc lập

B. \(X=Y\) gần chắc chắn

C. \(X,Y\) có cùng kỳ vọng

D. \(X+Y=0\) gần chắc chắn

Phân phối đồng thời của \(X,Y\in\{0,1\}\) có \(p_{00}=0{,}1,p_{01}=0{,}2,p_{10}=0{,}3,p_{11}=0{,}4\), trong đó \(p_{ij}=P(X=i,Y=j)\). Xác suất \(P(X=1\mid Y=1)\) bằng

A. \(2/5\)

B. \(2/3\)

C. \(3/4\)

D. \(4/5\)

Cho \(Y=X+\varepsilon\), trong đó \(X\) và \(\varepsilon\) độc lập, \(\operatorname{Var}(X)=4\), \(\operatorname{Var}(\varepsilon)=9\). Hiệp phương sai \(\operatorname{Cov}(X,Y)\) bằng

A. \(0\)

B. \(9\)

C. \(4\)

D. \(13\)

Lợi suất hai tài sản \(R_1,R_2\) có phương sai lần lượt \(0{,}04;0{,}09\) và hiệp phương sai \(0{,}01\). Danh mục có lợi suất \(R=0{,}6R_1+0{,}4R_2\). Phương sai của \(R\) bằng

A. \(0{,}0240\)

B. \(0{,}0288\)

C. \(0{,}0384\)

D. \(0{,}0336\)