Toán kinh tế — Chương 3: tối ưu nhiều biến–Lagrange

Hàm sản xuất \(Q(K,L)=\sqrt{KL}\), với \(K,L\ge0\). Sản lượng tại \(K=4,L=9\) bằng

A. \(6\) đơn vị

B. \(13\) đơn vị

C. \(36\) đơn vị

D. \(3\) đơn vị

Lợi nhuận \(\pi(K,L)=10K+8L-K^2-L^2\) tính bằng triệu đồng. Gradient tại \((K,L)=(2,3)\) bằng

A. \((8;5)\)

B. \((6;2)\)

C. \((2;6)\)

D. \((10;8)\)

Một rổ hàng \((x,y)\) thỏa ngân sách \(2x+y=10\), với \(x,y\ge0\). Nếu \(x=3\) thì \(y\) bằng

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(4\)

D. \(7\)

Hàm sản xuất \(Q(K,L)=K^{1/2}L^{1/2}\), với \(K,L>0\). Sản phẩm cận biên của lao động tại \(K=L=4\) bằng

A. \(4\)

B. \(2\)

C. \(1\)

D. \(\dfrac12\)

Với \(x,y\ge0\) và \(x+y=12\), giá trị lớn nhất của \(xy\) là

A. \(36\)

B. \(24\)

C. \(12\)

D. \(144\)

Với \(x,y\ge0\), giá trị nhỏ nhất của \(x^2+y^2\) dưới ràng buộc \(x+y=10\) là

A. \(25\)

B. \(50\)

C. \(100\)

D. \(20\)

Người tiêu dùng tối đa hóa \(U(x,y)=\ln x+\ln y\), với \(x,y>0\), dưới ngân sách \(x+y=20\). Rổ hàng tối ưu là

A. \((5;15)\)

B. \((20;0)\)

C. \((10;10)\)

D. \((15;5)\)

Doanh nghiệp tối đa hóa \(Q(K,L)=KL\), với \(K,L\ge0\), dưới ràng buộc \(K+2L=20\). Phương án tối ưu là

A. \((K,L)=(5;7{,}5)\)

B. \((K,L)=(20;0)\)

C. \((K,L)=(8;6)\)

D. \((K,L)=(10;5)\)

Doanh nghiệp tối thiểu hóa chi phí \(C=2K+8L\) triệu đồng, với \(K,L>0\), dưới ràng buộc \(KL=16\). Phương án tối ưu là

A. \((K,L)=(8;2)\)

B. \((K,L)=(4;4)\)

C. \((K,L)=(2;8)\)

D. \((K,L)=(16;1)\)

Doanh nghiệp tối đa hóa \(Q(K,L)=K^{1/3}L^{2/3}\), với \(K,L>0\), dưới ngân sách \(K+L=90\) triệu đồng, giá mỗi đầu vào đều là 1 triệu đồng/đơn vị. Phương án tối ưu là

A. \((45;45)\)

B. \((30;60)\)

C. \((60;30)\)

D. \((20;70)\)

Tìm điểm làm nhỏ nhất \(f(x,y)=x^2+2y^2\) dưới ràng buộc \(x+y=6\), với \(x,y\ge0\).

A. \((3;3)\)

B. \((2;4)\)

C. \((4;2)\)

D. \((6;0)\)

Người tiêu dùng tối đa hóa \(U(x,y)=x^{1/4}y^{3/4}\), với \(x,y>0\), dưới ngân sách \(4x+2y=80\) triệu đồng. Rổ hàng tối ưu là

A. \((10;20)\)

B. \((20;0)\)

C. \((4;32)\)

D. \((5;30)\)

Tối đa hóa \(\pi(x,y)=20x+16y-x^2-y^2\) triệu đồng dưới ràng buộc \(x+y\le12\), \(x,y\ge0\). Phương án tối ưu là

A. \((x,y)=(7;5)\)

B. \((x,y)=(6;6)\)

C. \((x,y)=(10;2)\)

D. \((x,y)=(8;4)\)

Doanh nghiệp tối thiểu hóa \(C=K+4L\) triệu đồng, với \(K,L>0\), để đạt \(Q(K,L)=\sqrt{KL}=10\). Phương án tối ưu là

A. \((10;10)\)

B. \((20;5)\)

C. \((5;20)\)

D. \((25;4)\)

Gọi \(V(m)=\max\{\ln x+\ln y:x+y=m,\ x,y>0\}\). Theo quy ước giá bóng bằng \(V'(m)\), giá bóng tại \(m=10\) là

A. \(\dfrac1{10}\)

B. \(\dfrac12\)

C. \(\dfrac15\)

D. \(2\)

Với \(x,y\ge0\) và \(x+y=3\), giá trị lớn nhất của \(xy^2\) là

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(\dfrac{27}{4}\)

D. \(4\)

Với \(x,y>0\) và \(xy=1\), giá trị nhỏ nhất của \(x^2+y^2\) là

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(4\)

D. \(0\)

Doanh nghiệp tối đa hóa \(Q(K,L)=K^{0{,}4}L^{0{,}6}\), với \(K,L>0\), dưới ngân sách \(2K+3L=300\) triệu đồng. Phương án tối ưu là

A. \((K,L)=(75;50)\)

B. \((K,L)=(60;60)\)

C. \((K,L)=(50;\frac{200}{3})\)

D. \((K,L)=(100;\frac{100}{3})\)

Hai khoản đầu tư không âm \(x,y\) có mức rủi ro \(x^2+4y^2=4\). Lợi tức là \(3x+4y\) triệu đồng. Lợi tức lớn nhất bằng

A. \(4\) triệu đồng

B. \(2\sqrt5\) triệu đồng

C. \(2\sqrt{13}\) triệu đồng

D. \(7\) triệu đồng

Ba mức điều chỉnh không âm \(x,y,z\) phải thỏa mục tiêu \(x+2y+2z=9\). Giá trị nhỏ nhất của chi phí bậc hai \(x^2+y^2+z^2\) là

A. \(3\)

B. \(6\)

C. \(12\)

D. \(9\)