Đại số tuyến tính — Chương 3: không gian vector

Số chiều của không gian vector \(\mathbb R^4\) bằng

A. \(4\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. \(1\)

Trong \(\mathbb R^3\), không gian con \(W=\{(x,y,z):x+y=0\}\) có số chiều bằng

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(0\)

Trong một không gian vector thực, không gian sinh bởi một vector khác \(0\) có số chiều bằng

A. \(0\)

B. \(2\)

C. \(1\)

D. phụ thuộc vào độ dài vector

Theo cơ sở chính tắc có thứ tự \(E=((1,0),(0,1))\) của \(\mathbb R^2\), tọa độ của \(v=(3,-1)\) là

A. \((-1,3)^T\)

B. \((3,1)^T\)

C. \((-3,1)^T\)

D. \((3,-1)^T\)

Số chiều của \(P_2(\mathbb R)\), không gian các đa thức thực bậc không quá \(2\), bằng

A. \(3\)

B. \(2\)

C. \(4\)

D. \(1\)

Trong \(\mathbb R^2\), hệ vector nào sau đây độc lập tuyến tính?

A. \(((1,0),(2,0))\)

B. \(((1,0),(0,1))\)

C. \(((1,1),(2,2))\)

D. \(((0,0),(1,1))\)

Khẳng định nào đúng với mọi không gian con \(W\) của một không gian vector thực?

A. \(W\) chứa mọi vector của không gian mẹ

B. \(W\) luôn có số chiều bằng \(1\)

C. \(W\) chứa vector \(0\)

D. \(W\) không đóng với phép cộng

Hệ nào là một cơ sở của mặt phẳng \(W=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x+y+z=0\}\)?

A. \(((1,0,0),(0,1,0))\)

B. \(((1,-1,0),(2,-2,0))\)

C. \(((1,-1,0),(0,0,1))\)

D. \(((1,-1,0),(1,0,-1))\)

Trong \(\mathbb R^2\), cho cơ sở có thứ tự \(B=((1,1),(1,-1))\). Vector tọa độ \([v]_B\) của \(v=(5,1)\) bằng

A. \((3,2)^T\)

B. \((2,3)^T\)

C. \((5,1)^T\)

D. \((3,-2)^T\)

Trong \(\mathbb R^3\), cho \(U=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}\) và \(W=\operatorname{span}\{(0,1,0),(0,0,1)\}\). Số chiều của \(U\cap W\) bằng

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Cho hai không gian con hữu hạn chiều \(U,W\) thỏa \(\dim U=2\), \(\dim W=2\), \(\dim(U\cap W)=1\). Khi đó \(\dim(U+W)\) bằng

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Trong \(P_2(\mathbb R)\), không gian con \(W=\{p:p(1)=0\}\) có số chiều bằng

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(3\)

D. \(2\)

Trong \(\mathbb R^3\), số chiều của không gian sinh bởi \(v_1=(1,0,1)\), \(v_2=(0,1,1)\), \(v_3=(1,1,2)\) là

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(3\)

D. \(0\)

Trong \(\mathbb R^4\), đặt \(W=\operatorname{span}\{(1,1,1,1)\}\). Số chiều của không gian thương \(\mathbb R^4/W\) bằng

A. \(4\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. \(1\)

Trong \(P_2(\mathbb R)\), cho cơ sở có thứ tự \(B=(1+x,\ x+x^2,\ x^2)\). Tọa độ của \(p(x)=2+x-3x^2\) theo \(B\) là

A. \((2,1,-3)^T\)

B. \((1,2,-3)^T\)

C. \((2,-1,-2)^T\)

D. \((2,-1,-3)^T\)

Trong \(\mathbb R^4\), cho \(U=\operatorname{span}\{e_1,e_2\}\) và \(W=\operatorname{span}\{e_2,e_3\}\), với \(E=(e_1,e_2,e_3,e_4)\) là cơ sở chính tắc. Số chiều của \(U+W\) bằng

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(4\)

D. \(3\)

Phiếm hàm tuyến tính \(f:\mathbb R^3\to\mathbb R\) được cho bởi \(f(x,y,z)=2x-y+3z\). Số chiều của \(\ker f\) bằng

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(3\)

D. \(0\)

Trong \(P_3(\mathbb R)\), không gian \(W=\{p:p(0)=0,\ p(1)=0\}\) có số chiều bằng

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Cho \(U,W\) là các không gian con của \(\mathbb R^5\), \(\dim U=\dim W=3\) và \(U+W=\mathbb R^5\). Khi đó \(\dim(U\cap W)\) bằng

A. \(0\)

B. \(2\)

C. \(1\)

D. \(3\)

Trong \(\mathbb R^2\), cho cơ sở có thứ tự \(B=((1,1),(2,1))\). Nếu \([v]_B=(3,-2)^T\) thì vector \(v\) theo cơ sở chính tắc là

A. \((1,-1)\)

B. \((3,-2)\)

C. \((7,5)\)

D. \((-1,1)\)