Đại số tuyến tính — Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

Trên \(\mathbb R\), cho ánh xạ tuyến tính \(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3\), \(T(x,y)=(x-y,2x,y)\). Giá trị \(T(2,-1)\) là

A. \((3,4,-1)\)

B. \((1,4,-1)\)

C. \((3,2,1)\)

D. \((-3,4,1)\)

Cho phiếm hàm tuyến tính \(T:P_2(\mathbb R)\to\mathbb R\), \(T(p)=p(1)\). Số chiều của \(\ker T\) bằng

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(0\)

Cho \(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\), \(T(x,y)=(3x+y,x-2y)\). Ma trận của \(T\) theo cơ sở chính tắc ở cả miền và đối miền là

A. \(\begin{pmatrix}3&1\\-2&1\end{pmatrix}\)

B. \(\begin{pmatrix}3&-2\\1&1\end{pmatrix}\)

C. \(\begin{pmatrix}3&1\\1&-2\end{pmatrix}\)

D. \(\begin{pmatrix}1&3\\-2&1\end{pmatrix}\)

Ánh xạ nào sau đây từ \(\mathbb R^2\) vào \(\mathbb R^2\) là ánh xạ tuyến tính?

A. \(F(x,y)=(x+1,y)\)

B. \(F(x,y)=(xy,y)\)

C. \(F(x,y)=(|x|,y)\)

D. \(F(x,y)=(x+2y,3x-y)\)

Cho \(T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2\), \(T(x,y,z)=(x+z,y-z)\). Hạng của \(T\) bằng

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(3\)

D. \(0\)

Cho phiếm hàm \(f:\mathbb R^3\to\mathbb R\), \(f(x,y,z)=2x-y+4z\). Số chiều của \(\ker f\) là

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(0\)

Phép quay tuyến tính \(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) một góc \(90^\circ\) ngược chiều kim đồng hồ thỏa \(T(x,y)=(-y,x)\). Khi đó \(T(1,0)\) bằng

A. \((1,0)\)

B. \((0,-1)\)

C. \((0,1)\)

D. \((-1,0)\)

Cho \(T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2\), \(T(x,y,z)=(x-2y,y+3z)\). Một cơ sở của \(\ker T\) là

A. \(\{(2,1,0)\}\)

B. \(\{(0,-3,1)\}\)

C. \(\{(6,-3,1)\}\)

D. \(\{(6,3,-1)\}\)

Trong cơ sở chính tắc của \(\mathbb R^2\), cho \([S]=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\) và \([T]=\begin{pmatrix}2&0\\-1&3\end{pmatrix}\). Ma trận của \(T\circ S\) là

A. \(\begin{pmatrix}2&4\\-1&1\end{pmatrix}\)

B. \(\begin{pmatrix}0&4\\-1&3\end{pmatrix}\)

C. \(\begin{pmatrix}2&2\\-3&3\end{pmatrix}\)

D. \(\begin{pmatrix}2&4\\1&-1\end{pmatrix}\)

Cho toán tử đạo hàm \(D:P_2(\mathbb R)\to P_1(\mathbb R)\). Ở miền dùng cơ sở \(B=(1,x,x^2)\), ở đối miền dùng cơ sở \(C=(1+x,1-x)\). Ma trận \([D]_{C\leftarrow B}\) là

A. \(\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\)

B. \(\begin{pmatrix}0&1/2&1\\0&1/2&-1\end{pmatrix}\)

C. \(\begin{pmatrix}0&1/2&-1\\0&1/2&1\end{pmatrix}\)

D. \(\begin{pmatrix}0&0\\1/2&1/2\\1&-1\end{pmatrix}\)

Cho ánh xạ tuyến tính \(T:\mathbb R^5\to\mathbb R^3\) là toàn ánh. Số chiều của \(\ker T\) bằng

A. \(1\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. \(5\)

Cho phép chiếu \(P:\mathbb R^3\to\mathbb R^3\), \(P(x,y,z)=(x,y,0)\). Khẳng định nào đúng?

A. \(\ker P=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}\)

B. \(\operatorname{Im}P=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}\)

C. \(P^2=0\)

D. \(\mathbb R^3=\operatorname{Im}P\oplus\ker P\)

Toán tử đạo hàm \(D:P_3(\mathbb R)\to P_3(\mathbb R)\), \(D(p)=p'\), có cặp \((\operatorname{rank}D,\dim\ker D)\) bằng

A. \((3,1)\)

B. \((1,3)\)

C. \((4,0)\)

D. \((2,2)\)

Nếu \(T:\mathbb R^4\to\mathbb R^4\) là đơn ánh thì khẳng định nào luôn đúng?

A. \(\operatorname{rank}T=3\)

B. \(T\) là đẳng cấu

C. \(\dim\ker T=1\)

D. \(T^2=0\)

Cho \(T_a:\mathbb R^3\to\mathbb R^3\) có ma trận chính tắc \(A_a=\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&a\\a&0&1\end{pmatrix}\). Ánh xạ \(T_a\) không là đẳng cấu khi và chỉ khi

A. \(a=0\)

B. \(a=1\)

C. \(a=-1\)

D. \(a\in\{-1,1\}\)

Cho đẳng cấu \(T:\mathbb R^3\to\mathbb R^3\), \(T(x,y,z)=(x+y,y+z,z+x)\). Nếu \(T(x,y,z)=(u,v,w)\), công thức đúng của \(T^{-1}\) là

A. \(T^{-1}(u,v,w)=(u-v+w,u+v-w,-u+v+w)\)

B. \(T^{-1}(u,v,w)=((u+v)/2,(v+w)/2,(w+u)/2)\)

C. \(T^{-1}(u,v,w)=((u+v-w)/2,(u-v+w)/2,(-u+v+w)/2)\)

D. \(T^{-1}(u,v,w)=((u-v+w)/2,(u+v-w)/2,(-u+v+w)/2)\)

Trong \(\mathbb R^2\), gọi \(P\) là phép chiếu lên \(U=\operatorname{span}\{(1,1)\}\) dọc theo \(W=\operatorname{span}\{(1,-1)\}\). Giá trị \(P(3,1)\) bằng

A. \((2,2)\)

B. \((1,1)\)

C. \((3,1)\)

D. \((2,-2)\)

Cho \(T:P_2(\mathbb R)\to\mathbb R^3\), \(T(p)=(p(0),p(1),p'(1))\). Khẳng định nào đúng?

A. \(\dim\ker T=1\)

B. \(T\) là đẳng cấu

C. \(\operatorname{rank}T=2\)

D. \(T\) không là đơn ánh vì \(p'\) làm mất hệ số hằng

Cho toán tử tuyến tính \(T:\mathbb R^4\to\mathbb R^4\) thỏa \(T^2=0\). Giá trị lớn nhất có thể của \(\operatorname{rank}T\) là

A. \(1\)

B. \(4\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Cho \(S:U\to V\) và \(T:V\to U\) là các ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian thực hữu hạn chiều. Nếu \(T\circ S:U\to U\) khả nghịch thì điều nào nhất thiết đúng?

A. \(S\) toàn ánh và \(T\) đơn ánh

B. Cả \(S\) và \(T\) đều phải là đẳng cấu

C. \(T\circ S=I_U\)

D. \(S\) đơn ánh và \(T\) toàn ánh