Đại số tuyến tính — Chương 5: Trị riêng–chéo hoá

Tập các trị riêng của ma trận \(A=\operatorname{diag}(2,-1,4)\) là

A. \(\{2,-1,4\}\)

B. \(\{2,1,4\}\)

C. \(\{-8\}\)

D. \(\{5\}\)

Cho \(A=\begin{pmatrix}3&0\\0&5\end{pmatrix}\). Vectơ nào là vectơ riêng ứng với trị riêng \(5\)?

A. \((1,0)^T\)

B. \((0,1)^T\)

C. \((1,1)^T\)

D. \((0,0)^T\)

Đa thức đặc trưng \(\chi_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)\) của \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&4\end{pmatrix}\) là

A. \((\lambda+1)(\lambda+4)\)

B. \(\lambda^2-5\)

C. \((\lambda-1)(\lambda-4)\)

D. \((\lambda-2)^2\)

Cho toán tử \(T=3I\) trên \(\mathbb R^2\). Không gian riêng ứng với trị riêng \(3\) có số chiều bằng

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(3\)

D. \(2\)

Các trị riêng của ma trận \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\) là

A. \(3\) và \(1\)

B. \(2\) và \(2\)

C. \(1\) và \(-1\)

D. \(4\) và \(0\)

Tập các trị riêng của ma trận tam giác \(A=\begin{pmatrix}-1&2&0\\0&4&5\\0&0&2\end{pmatrix}\) là

A. \(\{-1,2,5\}\)

B. \(\{-1,4,2\}\)

C. \(\{1,4,2\}\)

D. \(\{-8\}\)

Trên \(\mathbb R\), ma trận \(A=\begin{pmatrix}0&-2\\2&0\end{pmatrix}\) có tính chất nào?

A. Có hai trị riêng thực \(2,-2\)

B. Có trị riêng thực duy nhất \(0\)

C. Không có trị riêng thực

D. Chéo hoá được trên \(\mathbb R\)

Ma trận \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\) có tính chất nào trên \(\mathbb R\)?

A. Có hai trị riêng phân biệt

B. Là ma trận chéo

C. Không có trị riêng

D. Không chéo hoá được vì không gian riêng ứng với \(2\) có số chiều \(1\)

Cho \(A=\begin{pmatrix}4&1\\0&2\end{pmatrix}\). Một vectơ riêng ứng với trị riêng \(4\) là

A. \((1,0)^T\)

B. \((0,1)^T\)

C. \((1,-2)^T\)

D. \((1,1)^T\)

Cho \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\). Mô tả đúng các không gian riêng là

A. \(E_2=\operatorname{span}\{(1,-1)^T\}\), \(E_0=\operatorname{span}\{(1,1)^T\}\)

B. \(E_2=\operatorname{span}\{(1,1)^T\}\), \(E_0=\operatorname{span}\{(1,-1)^T\}\)

C. \(E_1=\mathbb R^2\)

D. \(E_2=E_0=\operatorname{span}\{(1,0)^T\}\)

Cho các vectơ riêng \(v_1,v_2,v_3\) của một ma trận thực, ứng với ba trị riêng thực đôi một khác nhau. Khẳng định nào đúng?

A. Ba vectơ nhất thiết trực giao

B. Ba vectơ nhất thiết có cùng chuẩn

C. Ba vectơ độc lập tuyến tính

D. Tổng \(v_1+v_2+v_3\) bằng \(0\)

Với một ma trận thực đối xứng \(A\), khẳng định nào luôn đúng?

A. Mọi trị riêng đều dương

B. \(A\) luôn khả nghịch

C. \(A\) chỉ có một trị riêng

D. Tồn tại ma trận trực giao \(Q\) sao cho \(Q^TAQ\) là ma trận chéo

Ma trận thực \(A\) thỏa \(A^2=I\). Khẳng định nào luôn đúng?

A. \(A\) chéo hoá được và mọi trị riêng thuộc \(\{-1,1\}\)

B. \(A=I\)

C. \(A\) chỉ có trị riêng \(1\)

D. \(A\) là ma trận đối xứng

Ma trận vuông cấp \(3\) có các trị riêng, kể cả bội, là \(2,3,-1\). Giá trị \(\operatorname{tr}(A^4)\) bằng

A. \(84\)

B. \(98\)

C. \(36\)

D. \(82\)

Với \(a\in\mathbb R\), xét \(A_a=\begin{pmatrix}a&1\\0&a\end{pmatrix}\). Ma trận \(A_a\) chéo hoá được trên \(\mathbb R\) khi

A. \(a=0\)

B. \(a\ne0\)

C. Không có giá trị thực nào của \(a\)

D. Mọi \(a\in\mathbb R\)

Cho \(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\). Khẳng định nào đúng?

A. \(A\) chéo hoá được vì có hai trị riêng phân biệt

B. Đa thức tối tiểu là \((\lambda-1)(\lambda-2)\)

C. Không gian riêng ứng với \(1\) có số chiều \(2\)

D. \(A\) không chéo hoá được và đa thức tối tiểu là \((\lambda-1)^2(\lambda-2)\)

Cho \(A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}\). Cặp ma trận nào thỏa \(A=PDP^{-1}\)?

A. \(P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}4&0\\0&2\end{pmatrix}\)

B. \(P=I,\quad D=\begin{pmatrix}4&0\\0&2\end{pmatrix}\)

C. \(P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}2&0\\0&4\end{pmatrix}\)

D. \(P=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}\)

Với \(n\) là số nguyên không âm, lũy thừa của \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\) là

A. \(A^n=\begin{pmatrix}2^n&n2^{n-1}\\0&3^n\end{pmatrix}\)

B. \(A^n=\begin{pmatrix}2^n&3^n-2^n\\0&3^n\end{pmatrix}\)

C. \(A^n=\begin{pmatrix}2^n&2^n-3^n\\0&3^n\end{pmatrix}\)

D. \(A^n=\begin{pmatrix}2n&n\\0&3n\end{pmatrix}\)

Ma trận thực cấp \(3\) có đa thức đặc trưng \((\lambda-1)^2(\lambda+2)\) và \(\dim\ker(A-I)=2\). Kết luận đúng là

A. \(A\) không chéo hoá được vì trị riêng \(1\) lặp

B. \(A\) chỉ có hai vectơ riêng độc lập

C. \(A\) chéo hoá được trên \(\mathbb R\)

D. \(A\) không có trị riêng \(-2\)

Ma trận thực \(A\) chéo hoá được và có các trị riêng, kể cả bội, chỉ thuộc \(\{1,1/2,-1/3\}\), trong đó \(1\) thực sự là một trị riêng. Khi \(n\to\infty\), dãy \(A^n\) có tính chất nào?

A. Luôn phân kỳ vì có trị riêng \(1\)

B. Hội tụ về ma trận không

C. Hội tụ về ma trận đơn vị

D. Hội tụ về phép chiếu lên không gian riêng \(E_1\) dọc theo tổng các không gian riêng còn lại