Đại số tuyến tính — Chương 6: Dạng toàn phương

Ma trận đối xứng của dạng toàn phương \(q(x,y)=2x^2+6xy+5y^2\) theo cơ sở chính tắc là

A. \(\begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix}\)

B. \(\begin{pmatrix}2&6\\6&5\end{pmatrix}\)

C. \(\begin{pmatrix}2&3\\0&5\end{pmatrix}\)

D. \(\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}\)

Dạng toàn phương \(q(x,y)=x^2+y^2\) được phân loại là

A. nửa xác định dương

B. xác định dương

C. không xác định

D. xác định âm

Dạng toàn phương \(q(x,y)=x^2-y^2\) có tính chất nào?

A. xác định dương

B. xác định âm

C. không xác định

D. nửa xác định dương

Dạng toàn phương có ma trận \(A=\operatorname{diag}(3,0,-2)\). Quán tính \((n_+,n_-,n_0)\) của dạng là

A. \((2,1,0)\)

B. \((1,0,2)\)

C. \((1,2,0)\)

D. \((1,1,1)\)

Cho \(q(x,y)=2x^2-2xy+y^2\). Giá trị \(q(1,2)\) bằng

A. \(2\)

B. \(0\)

C. \(4\)

D. \(6\)

Ma trận đối xứng \(A=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&4\end{pmatrix}\) biểu diễn dạng toàn phương nào?

A. \(x^2-2xy+4y^2\)

B. \(x^2-4xy+4y^2\)

C. \(x^2+4xy+4y^2\)

D. \(x^2-2xy+2y^2\)

Cho \(q(x,y)=2x^2+5y^2\). Trên đường tròn đơn vị \(x^2+y^2=1\), khẳng định đúng là

A. \(-5\le q\le5\)

B. \(0\le q\le2\)

C. \(2\le q\le5\)

D. \(q=7\) với mọi điểm

Với \(a\in\mathbb R\), dạng \(q_a(x,y)=ax^2+2xy+3y^2\) xác định dương khi và chỉ khi

A. \(a>0\)

B. \(a\ge1/3\)

C. \(a>1\)

D. \(a>1/3\)

Dùng phép đổi biến \(u=x+y\), \(v=y\), dạng \(q(x,y)=x^2+2xy+2y^2\) trở thành

A. \(u^2+v^2\)

B. \(u^2-v^2\)

C. \(2u^2+v^2\)

D. \(u^2+2uv\)

Dạng toàn phương \(q(x,y)=2x^2+4xy+2y^2\) được phân loại là

A. xác định dương

B. nửa xác định dương, hạng \(1\)

C. không xác định

D. nửa xác định âm, hạng \(1\)

Dạng toàn phương có ma trận \(A=\begin{pmatrix}-2&1\\1&-3\end{pmatrix}\) là

A. xác định dương

B. không xác định

C. xác định âm

D. nửa xác định âm

Dạng \(q(x,y)=x^2+4xy+3y^2\) có tính chất nào?

A. xác định dương

B. nửa xác định dương

C. xác định âm

D. không xác định

Đặt \(u=(x+y)/\sqrt2\), \(v=(x-y)/\sqrt2\). Dạng \(q(x,y)=3x^2+2xy+3y^2\) trở thành

A. \(4u^2+2v^2\)

B. \(2u^2+4v^2\)

C. \(3u^2+3v^2\)

D. \(4uv\)

Hai ma trận đối xứng liên hệ bởi \(B=P^TAP\), trong đó \(P\) khả nghịch, \(\det A=-2\), \(\det P=3\). Giá trị \(\det B\) bằng

A. \(-6\)

B. \(-18\)

C. \(18\)

D. \(-54\)

Với \(a\in\mathbb R\), dạng \(q_a(x,y)=x^2+2axy+y^2\) không âm với mọi \((x,y)\in\mathbb R^2\) khi và chỉ khi

A. \(a>1\)

B. \(|a|<1\)

C. \(|a|\le1\)

D. \(a\ge0\)

Quán tính \((n_+,n_-,n_0)\) của \(q(x,y,z)=(x+y+z)^2\) là

A. \((3,0,0)\)

B. \((1,2,0)\)

C. \((0,0,3)\)

D. \((1,0,2)\)

Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \(q(x,y)=2x^2+2xy+2y^2\) trên \(x^2+y^2=1\) lần lượt là

A. \(1\) và \(3\)

B. \(0\) và \(4\)

C. \(2\) và \(2\)

D. \(-1\) và \(3\)

Cho hai ma trận đối xứng thực \(A,B\) đồng dư, nghĩa là \(B=P^TAP\) với \(P\) khả nghịch. Đại lượng nào nhất thiết giống nhau đối với hai dạng tương ứng?

A. Từng trị riêng kể cả giá trị

B. Quán tính \((n_+,n_-,n_0)\)

C. Vết của ma trận

D. Định thức của ma trận

Quán tính của dạng \(q(x,y,z)=x^2+2xy+y^2-z^2\) là

A. \((2,1,0)\)

B. \((1,2,0)\)

C. \((1,1,1)\)

D. \((1,0,2)\)

Với \(a\in\mathbb R\), ma trận đối xứng \(A_a=\begin{pmatrix}a&1&0\\1&a&1\\0&1&a\end{pmatrix}\) xác định dương khi và chỉ khi

A. \(a>0\)

B. \(a>1\)

C. \(a\ge\sqrt2\)

D. \(a>\sqrt2\)