Đề tổng hợp Đại số tuyến tính – 40 câu

Cho ma trận \(A=\begin{pmatrix}2&-1\\3&4\end{pmatrix}\). Giá trị của \(\det A\) bằng

A.

\(5\)

B.

\(11\)

C.

\(-11\)

D.

\(8\)

Trong \(\mathbb R\), nghiệm của hệ \(\begin{cases}x+y=5,\\2x-y=1\end{cases}\) là

A.

\((x,y)=(3,2)\)

B.

\((x,y)=(2,-3)\)

C.

\((x,y)=(-2,3)\)

D.

\((x,y)=(2,3)\)

Tập nào sau đây là một cơ sở của không gian vector \(\mathbb R^3\)?

A.

\(\{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)\}\)

B.

\(\{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\}\)

C.

\(\{(1,1,1),(2,2,2),(0,1,0)\}\)

D.

\(\{(1,0,0),(0,1,0)\}\)

Cho ánh xạ tuyến tính \(T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2\), \(T(x,y,z)=(x+y,y+z)\). Khi đó \(\dim(\ker T)\) bằng

A.

\(0\)

B.

\(2\)

C.

\(1\)

D.

\(3\)

Các trị riêng của ma trận \(A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&-2&4\\0&0&3\end{pmatrix}\) là

A.

\(1,-2,3\)

B.

\(1,2,3\)

C.

\(-1,2,3\)

D.

\(1,-2,4\)

Dạng toàn phương \(q(x,y,z)=2x^2+3y^2-z^2\) thuộc loại nào?

A.

Xác định dương

B.

Xác định âm

C.

Nửa xác định dương

D.

Không xác định

Cho \(A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}2&0\\4&1\end{pmatrix}\) và \(C=AB\). Phần tử \(c_{12}\) bằng

A.

\(1\)

B.

\(2\)

C.

\(4\)

D.

\(5\)

Trong \(\mathbb R\), hệ \(\begin{cases}ax+y=1,\\x+ay=1\end{cases}\) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

A.

\(a\ne1\)

B.

\(a\ne-1\)

C.

\(a\ne\pm1\)

D.

\(a=0\)

Trong \(\mathbb R^4\), cho \(W=\{(x,y,z,t):x+y+z+t=0\}\). Số chiều của \(W\) bằng

A.

\(1\)

B.

\(2\)

C.

\(4\)

D.

\(3\)

Cho \(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\), \(T(x,y)=(x+2y,3x-y)\). Ma trận của \(T\) theo cơ sở \(B=((1,1),(1,-1))\) ở miền xác định và cơ sở chính tắc ở miền giá trị là

A.

\(\begin{pmatrix}3&-1\\2&4\end{pmatrix}\)

B.

\(\begin{pmatrix}3&2\\-1&4\end{pmatrix}\)

C.

\(\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}\)

D.

\(\begin{pmatrix}-1&3\\4&2\end{pmatrix}\)

Cho \(A\) là ma trận vuông cấp \(3\) trên \(\mathbb R\) có ba trị riêng thực đôi một khác nhau. Khẳng định nào luôn đúng?

A.

\(A\) khả nghịch

B.

\(A\) chéo hoá được trên \(\mathbb R\)

C.

\(A\) đối xứng

D.

\(\det A>0\)

Ma trận đối xứng của dạng toàn phương \(q(x,y)=3x^2-4xy+5y^2\) theo cơ sở chính tắc là

A.

\(\begin{pmatrix}3&-4\\-4&5\end{pmatrix}\)

B.

\(\begin{pmatrix}3&2\\2&5\end{pmatrix}\)

C.

\(\begin{pmatrix}3&-2\\-2&5\end{pmatrix}\)

D.

\(\begin{pmatrix}3&-2\\2&5\end{pmatrix}\)

Cho \(A_m=\begin{pmatrix}m&1&0\\1&m&0\\0&0&2\end{pmatrix}\). Ma trận \(A_m\) suy biến khi

A.

\(m=\pm1\)

B.

\(m=0\)

C.

\(m=2\)

D.

\(m\ne\pm1\)

Cho hệ thuần nhất \(Ax=0\), trong đó \(A\) là ma trận thực kích thước \(3\times5\) và \(\operatorname{rank}A=3\). Số chiều của không gian nghiệm bằng

A.

\(0\)

B.

\(3\)

C.

\(5\)

D.

\(2\)

Trong \(P_2(\mathbb R)\), xét cơ sở có thứ tự \(B=(1+x,\ x+x^2,\ 1-x+x^2)\). Tọa độ của \(p(x)=x^2+4x\) theo cơ sở \(B\) là

A.

\((1,-1,2)\)

B.

\((1,2,-1)\)

C.

\((2,1,-1)\)

D.

\((-1,2,1)\)

Cho hai tự đồng cấu \(S,T\) của \(\mathbb R^3\) thỏa \(\det S=-2\) và \(\det T=3\). Khi đó \(\det(T\circ S)\) bằng

A.

\(6\)

B.

\(-1\)

C.

\(-6\)

D.

\(1\)

Cho \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\). Đa thức đặc trưng \(\chi_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)\) và một vector riêng ứng với trị riêng \(3\) lần lượt là

A.

\(\lambda^2-4\lambda+3\) và \((1,-1)\)

B.

\(\lambda^2-3\lambda+2\) và \((1,1)\)

C.

\(\lambda^2+4\lambda+3\) và \((1,1)\)

D.

\(\lambda^2-4\lambda+3\) và \((1,1)\)

Trên \(\mathbb R^2\), dạng toàn phương \(q(x,y)=x^2+4xy+y^2\) tương đương qua một phép đổi biến tuyến tính khả nghịch với dạng nào sau đây?

A.

\(u^2-v^2\)

B.

\(u^2+v^2\)

C.

\(-u^2-v^2\)

D.

\(u^2\)

Cho \(A\) là ma trận vuông cấp \(3\) và \(\det A=-3\). Khi đó \(\det(2A^{T})\) bằng

A.

\(-6\)

B.

\(-24\)

C.

\(24\)

D.

\(-12\)

Trong \(\mathbb R\), hệ \(\begin{cases}x+y+z=1,\\x+ay+z=1,\\x+y+az=1\end{cases}\) có vô số nghiệm khi và chỉ khi

A.

\(a=0\)

B.

\(a=-1\)

C.

\(a=1\)

D.

\(a\ne1\)

Trong \(\mathbb R^5\), đặt \(U=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5):x_1+x_2=0,\ x_3+x_4=0\}\) và \(W=\operatorname{span}\{(1,-1,0,0,0),(0,0,1,-1,0),(1,0,0,0,1)\}\). Khi đó \(\dim(U+W)\) bằng

A.

\(3\)

B.

\(4\)

C.

\(5\)

D.

\(2\)

Cho toán tử tuyến tính \(P:V\to V\) trên một không gian vector hữu hạn chiều và \(P^2=P\). Khẳng định nào luôn đúng?

A.

\(\det P=1\)

B.

\(P\) luôn khả nghịch

C.

\(\ker P=\operatorname{Im}P\)

D.

\(V=\operatorname{Im}P\oplus\ker P\)

Ma trận \(A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\) có tính chất nào sau đây trên \(\mathbb R\)?

A.

Không chéo hoá được vì không gian riêng ứng với \(\lambda=2\) có số chiều \(1\)

B.

Chéo hoá được vì có hai trị riêng phân biệt

C.

Chỉ có một trị riêng

D.

Là ma trận đối xứng

Dạng toàn phương có ma trận đối xứng \(A=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}\) là

A.

Xác định âm

B.

Không xác định

C.

Xác định dương

D.

Nửa xác định dương nhưng không xác định dương

Hạng của ma trận \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&1&1\end{pmatrix}\) bằng

A.

\(0\)

B.

\(1\)

C.

\(3\)

D.

\(2\)

Trong \(\mathbb R\), xét hệ phụ thuộc hai tham số \(a,b\): \(\begin{cases}x+y+z=1,\\2x+2y+2z=2,\\x+y+az=b.\end{cases}\) Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi

A.

\(a=1\) và \(b\ne1\)

B.

\(a=1\) và \(b=1\)

C.

\(a\ne1\) với mọi \(b\)

D.

\(a=0\) và \(b=0\)

Trong \(P_2(\mathbb R)\), số chiều của không gian sinh bởi ba đa thức \(p_1=1+x\), \(p_2=x+x^2\), \(p_3=1-x^2\) bằng

A.

\(1\)

B.

\(2\)

C.

\(3\)

D.

\(0\)

Cho \(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\), \(T(x,y)=(2x-y,x+3y)\). Ở miền xác định dùng cơ sở có thứ tự \(B=((1,1),(1,-1))\), ở miền giá trị dùng cơ sở có thứ tự \(C=((1,0),(1,1))\). Ma trận \([T]_{C\leftarrow B}\) là

A.

\(\begin{pmatrix}1&3\\4&-2\end{pmatrix}\)

B.

\(\begin{pmatrix}-3&4\\5&-2\end{pmatrix}\)

C.

\(\begin{pmatrix}-3&5\\4&-2\end{pmatrix}\)

D.

\(\begin{pmatrix}3&-1\\-2&5\end{pmatrix}\)

Cho ma trận thực \(A\) chéo hoá được và tập các trị riêng của \(A\) là \(\{1,2\}\). Biểu thức nào luôn đúng?

A.

\(A^5=5A-4I\)

B.

\(A^5=16A-15I\)

C.

\(A^5=32A-I\)

D.

\(A^5=31A-30I\)

Giá trị lớn nhất của \(q(x,y,z)=2x^2+2y^2+2z^2+2xy-2xz+2yz\) trên mặt cầu \(x^2+y^2+z^2=1\) là

A.

\(3\)

B.

\(2\)

C.

\(1\)

D.

\(4\)

Với \(a,b,c\) đôi một khác nhau, định thức \(D=\det\begin{pmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{pmatrix}\) bằng

A.

\((a+b)(a+c)(b+c)\)

B.

\((b-a)(c-a)(c-b)\)

C.

\((a-b)(c-a)(c-b)\)

D.

\((b-a)^2(c-b)\)

Cho hệ tuyến tính \(Ax=b\) trên \(\mathbb R\). Biết \(\operatorname{rank}A=2\) và \(\operatorname{rank}(A|b)=3\). Kết luận đúng là

A.

Hệ có nghiệm duy nhất

B.

Hệ có vô số nghiệm

C.

Hệ vô nghiệm

D.

Chưa đủ dữ kiện để kết luận tính tương thích

Trong \(V=P_4(\mathbb R)\), đặt \(W=\{p\in V:p(1)=p'(1)=0\}\). Số chiều của không gian thương \(V/W\) bằng

A.

\(2\)

B.

\(3\)

C.

\(4\)

D.

\(5\)

Cho phiếm hàm tuyến tính \(f:\mathbb R^3\to\mathbb R\) thỏa \(f(1,0,1)=2\), \(f(0,1,1)=3\), \(f(1,1,0)=1\). Giá trị \(f(1,1,1)\) bằng

A.

\(2\)

B.

\(3\)

C.

\(4\)

D.

\(6\)

Cho \(A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\). Khẳng định nào đúng?

A.

\(A\) chéo hoá được trên \(\mathbb R\) với các trị riêng \(1,-1\)

B.

\(A\) không chéo hoá được trên \(\mathbb C\)

C.

\(A\) có trị riêng thực \(0\)

D.

\(A\) không chéo hoá được trên \(\mathbb R\), nhưng chéo hoá được trên \(\mathbb C\)

Với \(a\in\mathbb R\), dạng toàn phương \(q_a(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2+2axy+2yz\) xác định dương khi và chỉ khi

A.

\(|a|<\sqrt2\)

B.

\(|a|<1\)

C.

\(|a|<\sqrt{5/3}\)

D.

\(|a|>\sqrt{5/3}\)

Ma trận vuông \(A\) thỏa \(A^2-3A+2I=0\). Công thức nào đúng?

A.

\(A^{-1}=\dfrac{3I-A}{2}\)

B.

\(A^{-1}=A-3I\)

C.

\(A^{-1}=\dfrac{A-3I}{2}\)

D.

Không thể kết luận \(A\) khả nghịch

Cho \(A\) là ma trận thực kích thước \(4\times6\) có hạng \(3\). Xét hệ \(Ax=b\), với \(x\in\mathbb R^6\), \(b\in\mathbb R^4\). Cặp số \((d_1,d_2)\), trong đó \(d_1\) là số chiều của tập các \(b\) làm hệ có nghiệm và \(d_2\) là số chiều của tập nghiệm của mỗi hệ tương thích, bằng

A.

\((4,2)\)

B.

\((3,2)\)

C.

\((4,3)\)

D.

\((3,3)\)

Trong \(P_3(\mathbb R)\), xét bốn đa thức có thứ tự \(p_1=1+x\), \(p_2=x+x^2\), \(p_3=x^2+x^3\), \(p_4=1+ax^3\). Hệ \((p_1,p_2,p_3,p_4)\) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

A.

\(a=0\)

B.

\(a=1\)

C.

\(a=-1\)

D.

\(a\ne1\)

Cho toán tử tuyến tính \(T:\mathbb R^4\to\mathbb R^4\) thỏa \(T^2=0\) và \(\operatorname{rank}T=2\). Khẳng định nào nhất thiết đúng?

A.

\(T=0\)

B.

\(T\) khả nghịch

C.

\(\operatorname{Im}T=\ker T\)

D.

\(\operatorname{Im}T\cap\ker T=\{0\}\)