Toán cao cấp — Chương 2: đạo hàm–vi phân

Cho \(f(x)=x^3-2x\). Giá trị \(f'(1)\) bằng

A. \(1\)

B. \(3\)

C. \(-1\)

D. \(5\)

Cho \(f(x)=e^x\cos x\). Giá trị \(f'(0)\) bằng

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(-1\)

D. \(2\)

Đạo hàm của \(f(x)=\ln x\) tại \(x=e\) bằng

A. \(e\)

B. \(1\)

C. \(\dfrac1e\)

D. \(0\)

Với \(y=x^2\), tại \(x=3\) và \(dx=0{,}1\), vi phân \(dy\) bằng

A. \(0{,}01\)

B. \(0{,}3\)

C. \(0{,}9\)

D. \(0{,}6\)

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị \(y=\sqrt{x}\) tại \(x=4\) là

A. \(\dfrac14\)

B. \(\dfrac12\)

C. \(2\)

D. \(4\)

Cho \(f(x)=\sin(2x)\). Giá trị \(f'(\pi/4)\) bằng

A. \(2\)

B. \(0\)

C. \(-2\)

D. \(1\)

Đạo hàm của \(f(x)=1/x\) tại \(x=2\) bằng

A. \(\dfrac14\)

B. \(-\dfrac12\)

C. \(-\dfrac14\)

D. \(\dfrac12\)

Cho \(f(x)=x^4\). Giá trị \(f''(1)\) bằng

A. \(4\)

B. \(8\)

C. \(16\)

D. \(12\)

Với \(x>0\), đạo hàm của \(f(x)=x^x\) tại \(x=1\) bằng

A. \(1\)

B. \(0\)

C. \(e\)

D. \(2\)

Trên nhánh đường tròn \(x^2+y^2=25\) qua điểm \((3,4)\), giá trị \(y'(3)\) bằng

A. \(\dfrac34\)

B. \(-\dfrac34\)

C. \(-\dfrac43\)

D. \(\dfrac43\)

Cho \(f(x)=\arctan(2x)\). Giá trị \(f'(0)\) bằng

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(4\)

Với \(y=x^3\) và \(x\ne0\), công thức vi phân tương đối \(dy/y\) là

A. \(dx/x\)

B. \(3x^2dx\)

C. \(x^3dx\)

D. \(3\,dx/x\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(y=\ln x\) tại điểm có hoành độ \(e\) là

A. \(y-1=\dfrac{x-e}{e}\)

B. \(y=e(x-1)\)

C. \(y-1=e(x-e)\)

D. \(y=x-e+1\)

Cho \(f(x)=\ln(1+x)\). Giá trị \(f''(0)\) bằng

A. \(1\)

B. \(-1\)

C. \(0\)

D. \(-2\)

Cho \(f(x)=x^2e^x\). Giá trị \(f^{(3)}(0)\) bằng

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(6\)

D. \(12\)

Cho \(f(x)=x+x^2\) trên \(x>-1/2\) và \(g=f^{-1}\). Biết \(f(1)=2\), giá trị \(g'(2)\) bằng

A. \(3\)

B. \(\dfrac12\)

C. \(2\)

D. \(\dfrac13\)

Cho \(f(x)=e^x+x\) và \(g=f^{-1}\). Biết \(f(0)=1\), giá trị \(g''(1)\) bằng

A. \(-\dfrac18\)

B. \(\dfrac18\)

C. \(-\dfrac14\)

D. \(\dfrac14\)

Giá trị \(\displaystyle \left.\frac{d^{10}}{dx^{10}}(x^3e^x)\right|_{x=0}\) bằng

A. \(120\)

B. \(720\)

C. \(5040\)

D. \(10!\)

Bán kính một khối cầu tăng với tốc độ \(2\) cm/s. Tại thời điểm bán kính bằng \(3\) cm, thể tích tăng với tốc độ bao nhiêu?

A. \(24\pi\) cm³/s

B. \(36\pi\) cm³/s

C. \(72\pi\) cm³/s

D. \(108\pi\) cm³/s

Đường cong \(x^2+xy+y^2=3\) xác định hàm \(y=y(x)\) quanh \((1,1)\). Giá trị \(y''(1)\) bằng

A. \(\dfrac23\)

B. \(-1\)

C. \(0\)

D. \(-\dfrac23\)