Toán cao cấp — Chương 3: tích phân

Một nguyên hàm của \(x^2\) là

A. \(\dfrac{x^3}{3}+C\)

B. \(2x+C\)

C. \(x^3+C\)

D. \(\dfrac{x^2}{2}+C\)

Tính \(\displaystyle \int_0^2x\,dx\).

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(4\)

D. \(0\)

Một nguyên hàm của \(\cos x\) là

A. \(-\sin x+C\)

B. \(\cos x+C\)

C. \(\sin x+C\)

D. \(-\cos x+C\)

Tính \(\displaystyle \int_1^e\frac{dx}{x}\).

A. \(e-1\)

B. \(e\)

C. \(\ln(e-1)\)

D. \(1\)

Một nguyên hàm của \(\dfrac{2x}{x^2+1}\) là

A. \(\ln(x^2+1)+C\)

B. \(2\ln(x^2+1)+C\)

C. \(\dfrac1{x^2+1}+C\)

D. \(\arctan x+C\)

Tính \(\displaystyle \int_0^{\pi/2}\cos x\,dx\).

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(\pi/2\)

D. \(2\)

Một nguyên hàm của \(e^{3x}\) là

A. \(3e^{3x}+C\)

B. \(e^{3x}+C\)

C. \(\dfrac13e^{3x}+C\)

D. \(e^x+C\)

Tính \(\displaystyle \int_0^1x^2\,dx\).

A. \(1\)

B. \(\dfrac12\)

C. \(\dfrac14\)

D. \(\dfrac13\)

Một nguyên hàm của \(x\ln x\) trên \(x>0\) là

A. \(\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4}+C\)

B. \(\dfrac{x^2}{2}\ln x+C\)

C. \(x\ln x-x+C\)

D. \(\dfrac{x^2}{2}(\ln x-1)+C\)

Tính \(\displaystyle \int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx\).

A. \(\dfrac12\)

B. \(\dfrac{\pi}{4}\)

C. \(\dfrac{\pi}{2}\)

D. \(1\)

Tính \(\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{1+x}\).

A. \(1\)

B. \(\dfrac12\)

C. \(\ln2\)

D. \(e-1\)

Tích phân suy rộng \(\displaystyle \int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2}\) bằng

A. \(+\infty\)

B. \(\dfrac12\)

C. \(0\)

D. \(1\)

Tính \(\displaystyle \int_0^1\frac{x}{1+x^2}\,dx\).

A. \(\dfrac12\ln2\)

B. \(\ln2\)

C. \(\dfrac{\pi}{4}\)

D. \(\dfrac12\)

Một nguyên hàm của \(\dfrac{e^x}{1+e^x}\) là

A. \(\dfrac{e^x}{1+e^x}+C\)

B. \(\ln(1+e^x)+C\)

C. \(\ln(e^x)+C\)

D. \(1/(1+e^x)+C\)

Tính \(\displaystyle \int_0^1x^2e^{x^3}\,dx\).

A. \(e-1\)

B. \(\dfrac e3\)

C. \(\dfrac{e-1}{3}\)

D. \(\dfrac{e^3-1}{3}\)

Tính \(\displaystyle \int_0^1\arctan x\,dx\).

A. \(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac12\ln2\)

B. \(\dfrac{\pi}{2}-\ln2\)

C. \(\dfrac{\pi}{4}-\ln2\)

D. \(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac12\ln2\)

Tính \(\displaystyle \int_0^{\pi/2}x\sin x\,dx\).

A. \(1\)

B. \(\dfrac{\pi}{2}\)

C. \(\dfrac{\pi}{4}\)

D. \(2\)

Tính tích phân suy rộng \(\displaystyle \int_0^{\infty}e^{-2x}\,dx\).

A. \(2\)

B. \(\dfrac12\)

C. \(1\)

D. Phân kỳ

Tính tích phân suy rộng \(\displaystyle \int_0^1\ln x\,dx\).

A. \(1\)

B. \(0\)

C. \(-1\)

D. Phân kỳ

Tính \(\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2+x+1}\).

A. \(\dfrac{\pi}{3}\)

B. \(\dfrac{2\pi}{3\sqrt3}\)

C. \(\dfrac{\pi}{6\sqrt3}\)

D. \(\dfrac{\pi}{3\sqrt3}\)