Toán cao cấp — Chương 4: Chuỗi

Tổng của chuỗi \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac25\right)^n\) bằng

A. \(\dfrac53\)

B. \(\dfrac23\)

C. \(\dfrac52\)

D. Chuỗi phân kỳ

Chuỗi \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\), với \(p\in\mathbb R\), hội tụ khi và chỉ khi

A. \(p\ge 1\)

B. \(p>1\)

C. \(p<1\)

D. \(p\ne1\)

Xét chuỗi \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}\). Kết luận đúng là

A. Hội tụ tuyệt đối

B. Hội tụ có điều kiện

C. Phân kỳ vì số hạng tổng quát không tiến về \(0\)

D. Hội tụ về \(1\)

Chuỗi điều hòa đan dấu \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\) là chuỗi

A. phân kỳ

B. hội tụ tuyệt đối

C. có tổng bằng \(1\)

D. hội tụ có điều kiện

Tính \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\).

A. \(1\)

B. \(\dfrac12\)

C. \(2\)

D. Chuỗi phân kỳ

Giá trị của chuỗi \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{n!}\) là

A. \(2e\)

B. \(e^2\)

C. \(e\)

D. \(4\)

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n\) trên \(\mathbb R\) là

A. \([-1,1]\)

B. \([-1,1)\)

C. \((-1,1)\)

D. \((-\infty,\infty)\)

Chuỗi \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2/3}}\) có tính chất nào?

A. Phân kỳ vì \(2/3<1\)

B. Hội tụ tuyệt đối

C. Có tổng bằng \(2/3\)

D. Hội tụ có điều kiện

Khoảng hội tụ của \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n x^n\) là

A. \((-1,1)\)

B. \([-1,1]\)

C. \([-1,1)\)

D. \((-\infty,\infty)\)

Tổng \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\) bằng

A. \(1\)

B. \(\ln 2\)

C. \(e^{-1}\)

D. \(\pi/4\)

Miền hội tụ của \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{n\,3^n}\) là

A. \((-1,5)\)

B. \((-1,5]\)

C. \([-1,5)\)

D. \([-1,5]\)

Xét chuỗi \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\). Kết luận đúng là

A. Hội tụ vì số hạng tiến về \(0\)

B. Hội tụ theo so sánh với \(\sum1/n^2\)

C. Hội tụ có tổng bằng \(1\)

D. Phân kỳ theo so sánh giới hạn với chuỗi điều hòa

Chuỗi \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\) có tính chất nào?

A. Hội tụ tuyệt đối

B. Phân kỳ vì \(n!\to\infty\)

C. Hội tụ có điều kiện

D. Không thể kết luận bằng tiêu chuẩn tỉ số

Với \(a_n=\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}\), giới hạn \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\) bằng

A. \(\dfrac12\)

B. \(\dfrac14\)

C. \(1\)

D. \(0\)

Tính \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}\).

A. \(\dfrac12\)

B. \(1\)

C. \(\dfrac34\)

D. \(\dfrac32\)

Khoảng hội tụ của \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n(x-1)^n}{2^n}\) là

A. \([-1,3]\)

B. \([-1,3)\)

C. \((-1,3]\)

D. \((-1,3)\)

Giá trị \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(\pi/3)^{2n}}{(2n)!}\) bằng

A. \(\dfrac12\)

B. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)

C. \(-\dfrac12\)

D. \(1\)

Miền hội tụ của \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+1)^n}{n^2 4^n}\) là

A. \((-5,3)\)

B. \([-5,3]\)

C. \([-5,3)\)

D. \((-5,3]\)

Với \(p\in\mathbb R\), chuỗi \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^p}\) hội tụ khi và chỉ khi

A. \(p\ge0\)

B. \(p\ge1\)

C. \(p>1\)

D. \(p<1\)

Với \(a\in\mathbb R\), chuỗi \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{1+a^{2n}}\) hội tụ khi và chỉ khi

A. \(|a|<1\)

B. \(|a|>1\)

C. \(a\ne1\)

D. \(a\in\mathbb R\setminus\{-1,1\}\)