Toán cao cấp — Chương 5: Hàm nhiều biến

Cho \(f(x,y)=x^2y+\sin y\). Giá trị \(f_x(1,2)\) bằng

A. \(4\)

B. \(2+\cos2\)

C. \(2\)

D. \(4+\cos2\)

Cho \(f(x,y)=x^2+3xy-y^2\). Gradient \(\nabla f(1,1)\) là

A. \((2,3)\)

B. \((5,1)\)

C. \((1,5)\)

D. \((5,-1)\)

Miền xác định của hàm \(f(x,y)=\ln(x-y)\) là

A. \(x\ge y\)

B. \(x\ne y\)

C. \(x>y\)

D. \(x

Hàm \(f(x,y)=(x-1)^2+(y+2)^2\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?

A. \((-1,2)\)

B. \((1,2)\)

C. \((-1,-2)\)

D. \((1,-2)\)

Cho \(f(x,y)=x^2+y^2\). Đạo hàm theo hướng của \(f\) tại \((1,2)\) theo hướng vectơ \((3,4)\) bằng

A. \(\dfrac{22}{5}\)

B. \(22\)

C. \(5\)

D. \(\dfrac{14}{5}\)

Mặt phẳng tiếp tuyến của mặt \(z=x^2+y^2\) tại điểm \((1,1,2)\) có phương trình

A. \(z=x+y\)

B. \(z=2x+2y-2\)

C. \(z=2x+2y+2\)

D. \(z=x^2+y^2\)

Định thức Hessian của \(f(x,y)=x^2+xy+y^2\) bằng

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Cho \(f(x,y)=e^{xy}\). Vi phân toàn phần của \(f\) tại \((0,2)\) là

A. \(2\,dy\)

B. \(dx+2\,dy\)

C. \(2\,dx+dy\)

D. \(2\,dx\)

Cho \(z=x^2y\), trong đó \(x=t+1\), \(y=e^t\). Giá trị \(dz/dt\) tại \(t=0\) bằng

A. \(3\)

B. \(2\)

C. \(1\)

D. \(e\)

Đường cong \(x^2+2xy+3y^2=6\) xác định cục bộ \(y=y(x)\) gần \((1,1)\). Giá trị \(y'(1)\) là

A. \(\dfrac12\)

B. \(-\dfrac12\)

C. \(-2\)

D. \(2\)

Giá trị nhỏ nhất trên \(\mathbb R^2\) của \(f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y\) là

A. \(-4\)

B. \(0\)

C. \(-5\)

D. \(5\)

Cho \(f(x,y)=x^2y^3\). Giá trị \(f_{xy}(1,1)\) bằng

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(5\)

D. \(6\)

Dùng xấp xỉ tuyến tính tại \((0,0)\) để ước lượng \(\sqrt{4+x-y}\) khi \(x=0{,}1\), \(y=-0{,}1\). Kết quả là

A. \(2{,}05\)

B. \(2{,}10\)

C. \(1{,}95\)

D. \(2{,}20\)

Giá trị lớn nhất của \(xy\) dưới điều kiện \(x^2+y^2=2\) là

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(\dfrac12\)

D. \(\sqrt2\)

Điểm \((0,0)\) của hàm \(f(x,y)=x^4+y^4\) được phân loại là

A. điểm cực đại nghiêm ngặt

B. điểm yên ngựa

C. điểm cực tiểu nghiêm ngặt

D. không phải điểm cực trị vì định thức Hessian bằng \(0\)

Giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng của \(f(x,y)=e^{x+y}\) tại \((0,0)\), khi hướng chạy qua mọi vectơ đơn vị, bằng

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(e\)

D. \(\sqrt2\)

Đa thức Taylor bậc hai của \(f(x,y)=\ln(1+x+y)\) tại \((0,0)\) là

A. \(x+y-\dfrac{(x+y)^2}{2}\)

B. \(x+y+\dfrac{x^2+y^2}{2}\)

C. \(1+x+y-\dfrac{(x+y)^2}{2}\)

D. \(x+y-(x+y)^2\)

Trên đường tròn \(x^2+y^2=1\), giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \(Q(x,y)=3x^2+2xy+3y^2\) lần lượt là

A. \(1\) và \(3\)

B. \(2\) và \(4\)

C. \(-2\) và \(4\)

D. \(3\) và \(5\)

Nửa đường tròn \(x^2+y^2=1\), \(y>0\), xác định \(y=y(x)\) gần \(x=0\). Giá trị \(y''(0)\) bằng

A. \(1\)

B. \(0\)

C. \(-1\)

D. \(-2\)

Cho \(f(0,0)=0\) và \(f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}\) khi \((x,y)\ne(0,0)\). Kết luận đúng về \(f\) tại gốc là

A. Liên tục vì giới hạn theo mọi đường thẳng qua gốc bằng \(0\)

B. Khả vi và có gradient bằng \((0,0)\)

C. Có giới hạn bằng \(1/2\)

D. Không liên tục tại gốc