Toán cao cấp — Chương 6: tích phân bội

Cho hình chữ nhật \(D=[0,1]\times[0,2]\). Giá trị \(\displaystyle\iint_D1\,dA\) bằng

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Tính \(\displaystyle\int_0^1\int_0^1xy\,dy\,dx\).

A. \(\dfrac12\)

B. \(\dfrac14\)

C. \(1\)

D. \(\dfrac13\)

Diện tích miền tam giác \(D=\{(x,y):x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le2\}\) bằng

A. \(1\)

B. \(4\)

C. \(2\)

D. \(\sqrt2\)

Tính \(\displaystyle\int_0^2\int_0^1x\,dy\,dx\).

A. \(1\)

B. \(4\)

C. \(3\)

D. \(2\)

Khối nằm trên hình chữ nhật \(D=[0,1]\times[0,2]\), dưới mặt phẳng \(z=3\) và trên mặt phẳng \(z=0\) có thể tích bằng

A. \(6\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. \(9\)

Miền \(D=\{(x,y):0\le x\le1,\ x\le y\le1\}\) được mô tả theo thứ tự \(dx\,dy\) là

A. \(0\le y\le1,\ y\le x\le1\)

B. \(0\le y\le1,\ 0\le x\le y\)

C. \(0\le y\le x,\ 0\le x\le1\)

D. \(0\le y\le1,\ 1-y\le x\le1\)

Trong phép đổi sang tọa độ cực \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\), trị tuyệt đối Jacobian \(\left|\partial(x,y)/\partial(r,\theta)\right|\) bằng

A. \(1\)

B. \(r^2\)

C. \(r\)

D. \(\sin\theta\)

Cho đĩa đơn vị \(D=\{(x,y):x^2+y^2\le1\}\). Giá trị \(\displaystyle\iint_Dx\,dA\) bằng

A. \(1\)

B. \(\pi\)

C. \(\dfrac{\pi}{2}\)

D. \(0\)

Cho đĩa đơn vị \(D\). Tính \(\displaystyle\iint_D(x^2+y^2)\,dA\).

A. \(\dfrac{\pi}{2}\)

B. \(\pi\)

C. \(2\pi\)

D. \(\dfrac{\pi}{4}\)

Tính \(\displaystyle\int_0^1\int_0^{1-x}1\,dy\,dx\).

A. \(1\)

B. \(\dfrac12\)

C. \(\dfrac13\)

D. \(2\)

Tính \(\displaystyle\int_0^1\int_0^{2x}y\,dy\,dx\).

A. \(\dfrac13\)

B. \(1\)

C. \(\dfrac23\)

D. \(2\)

Thể tích hộp chữ nhật \(\Omega=[0,1]\times[0,2]\times[0,3]\), tính bởi \(\displaystyle\iiint_\Omega1\,dV\), bằng

A. \(3\)

B. \(5\)

C. \(9\)

D. \(6\)

Giá trị trung bình của hàm \(f(x,y)=x+y\) trên hình vuông \(D=[0,1]^2\) là

A. \(1\)

B. \(\dfrac12\)

C. \(2\)

D. \(\dfrac13\)

Đặt \(u=x+y,\ v=x-y\). Trị tuyệt đối Jacobian ngược \(\left|\partial(x,y)/\partial(u,v)\right|\) bằng

A. \(2\)

B. \(\dfrac12\)

C. \(1\)

D. \(\dfrac14\)

Cho \(D=\{(x,y):x\ge0,y\ge0,x^2+y^2\le1\}\). Tính \(\displaystyle\iint_Dxy\,dA\).

A. \(\dfrac14\)

B. \(\dfrac1{16}\)

C. \(\dfrac18\)

D. \(\dfrac12\)

Thể tích khối tứ diện \(\Omega=\{(x,y,z):x,y,z\ge0,\ x+y+z\le2\}\) bằng

A. \(2\)

B. \(\dfrac23\)

C. \(8\)

D. \(\dfrac43\)

Cho đĩa đơn vị \(D\). Tính \(\displaystyle\iint_De^{x^2+y^2}\,dA\).

A. \(\pi(e-1)\)

B. \(2\pi(e-1)\)

C. \(e-1\)

D. \(\pi e\)

Đặt \(u=x+y,v=x-y\). Miền \(D\) tương ứng với hình chữ nhật \(0\le u\le2,0\le v\le1\). Tính \(\displaystyle\iint_D(x+y)\,dA\).

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(4\)

D. \(\dfrac12\)

Cho quả cầu đơn vị \(\Omega=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\le1\}\). Tính \(\displaystyle\iiint_\Omega(x^2+y^2+z^2)\,dV\).

A. \(\dfrac{4\pi}{3}\)

B. \(\dfrac{2\pi}{5}\)

C. \(\dfrac{4\pi}{5}\)

D. \(\pi\)

Tích phân suy rộng \(\displaystyle\iint_{\mathbb R^2}e^{-(x^2+y^2)}\,dA\) bằng

A. \(1\)

B. \(2\pi\)

C. \(\sqrt\pi\)

D. \(\pi\)