Toán cao cấp — Chương 7: phương trình vi phân

Nghiệm của bài toán \(y'=3y,\ y(0)=2\) là

A. \(y=2e^{3x}\)

B. \(y=3e^{2x}\)

C. \(y=2+3x\)

D. \(y=2e^{-3x}\)

Nghiệm của bài toán \(y'=2x,\ y(0)=0\) là

A. \(y=2x\)

B. \(y=x^2\)

C. \(y=x^2+1\)

D. \(y=2x^2\)

Nghiệm của bài toán \(y'+2y=0,\ y(0)=5\) là

A. \(y=5e^{2x}\)

B. \(y=2e^{-5x}\)

C. \(y=5e^{-2x}\)

D. \(y=5-2x\)

Giá trị cân bằng không đổi của phương trình \(y'=4-y\) là

A. \(0\)

B. \(-4\)

C. \(1\)

D. \(4\)

Nghiệm của bài toán \(y'=xy,\ y(0)=1\) là

A. \(y=e^{x^2/2}\)

B. \(y=e^{x^2}\)

C. \(y=1+x^2/2\)

D. \(y=e^x\)

Nghiệm của bài toán \(y''=0,\ y(0)=1,\ y'(0)=2\) là

A. \(y=1+x\)

B. \(y=1+2x\)

C. \(y=2+x\)

D. \(y=e^{2x}\)

Cấp của phương trình vi phân \(y''+xy'=\sin x\) là

A. \(1\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. \(0\)

Trên khoảng cực đại chứa \(x=1\), nghiệm của \(y'=y/x,\ y(1)=3\) là

A. \(y=3/x\) trên \((0,\infty)\)

B. \(y=x^3\) trên \((0,\infty)\)

C. \(y=3x\) trên \(\mathbb R\)

D. \(y=3x\) trên \((0,\infty)\)

Nghiệm của bài toán \(y'+y=1,\ y(0)=0\) là

A. \(y=1-e^{-x}\)

B. \(y=e^x-1\)

C. \(y=1+e^{-x}\)

D. \(y=e^{-x}\)

Cho bài toán \(y'=-2x/y,\ y(0)=2\). Giá trị \(y(1)\) bằng

A. \(1\)

B. \(\sqrt2\)

C. \(2\)

D. \(0\)

Nghiệm của bài toán \(y'=1+y^2,\ y(0)=0\) trên khoảng cực đại chứa \(0\) là

A. \(y=\arctan x\) trên \(\mathbb R\)

B. \(y=\tan x\) trên \(\mathbb R\)

C. \(y=\tan x\) trên \((-\pi/2,\pi/2)\)

D. \(y=e^x-1\) trên \(\mathbb R\)

Nghiệm của bài toán \(y''+4y=0,\ y(0)=1,\ y'(0)=0\) là

A. \(y=\cos x\)

B. \(y=\sin(2x)\)

C. \(y=e^{-2x}\)

D. \(y=\cos(2x)\)

Nghiệm của bài toán \(y'-y=e^{2x},\ y(0)=0\) là

A. \(y=e^{2x}-e^x\)

B. \(y=e^{2x}+e^x\)

C. \(y=xe^x\)

D. \(y=e^x-1\)

Nghiệm của bài toán \(y'=2x/(1+y),\ y(0)=0\) là

A. \(y=\sqrt{1+x^2}-1\)

B. \(y=\sqrt{1+2x^2}-1\)

C. \(y=1-\sqrt{1+2x^2}\)

D. \(y=x^2\)

Trên \((0,\infty)\), nghiệm tổng quát của phương trình Euler \(x^2y''-3xy'+4y=0\) là

A. \(y=C_1x+C_2x^4\)

B. \(y=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}\)

C. \(y=x^2(C_1+C_2\ln x)\)

D. \(y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\)

Nghiệm của bài toán \(y''+y=\cos(2x),\ y(0)=0,\ y'(0)=0\) là

A. \(y=\cos x-\cos2x\)

B. \(y=(\cos2x-\cos x)/3\)

C. \(y=\sin x/3\)

D. \(y=(\cos x-\cos2x)/3\)

Nghiệm của bài toán logistic \(y'=2y(1-y/10),\ y(0)=5\) là

A. \(y=\dfrac{10}{1+e^{-2x}}\)

B. \(y=\dfrac{5}{1+e^{-2x}}\)

C. \(y=10e^{2x}\)

D. \(y=\dfrac{10}{1+e^{2x}}\)

Nghiệm của bài toán \(y'=y/(x-1),\ y(2)=3\) trên khoảng cực đại chứa \(2\) là

A. \(y=3/(x-1)\) trên \((1,\infty)\)

B. \(y=3(x-1)\) trên \((1,\infty)\)

C. \(y=3(x-1)\) trên \(\mathbb R\)

D. \(y=3x\) trên \((0,\infty)\)

Nghiệm của bài toán \(y''-2y'+y=e^x,\ y(0)=0,\ y'(0)=0\) là

A. \(y=xe^x\)

B. \(y=x^2e^x\)

C. \(y=\dfrac{x^2}{2}e^x\)

D. \(y=\dfrac{x}{2}e^x\)

Nghiệm của bài toán \(y'-y/x=x^2,\ y(1)=0\) trên khoảng cực đại chứa \(1\) là

A. \(y=x^3/3\) trên \((0,\infty)\)

B. \(y=(x^3+x)/2\) trên \((0,\infty)\)

C. \(y=(x^2-1)/2\) trên \((0,\infty)\)

D. \(y=(x^3-x)/2\) trên \((0,\infty)\)