Đề tổng hợp Toán cao cấp

Tính giới hạn \(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\).

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(0\)

D. Giới hạn không tồn tại

Cho \(f(x)=\ln(x^2+1)\). Giá trị \(f'(1)\) bằng

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(\dfrac12\)

D. \(0\)

Một nguyên hàm của \(3x^2-2\) là

A. \(x^3-2+C\)

B. \(6x-2+C\)

C. \(x^3-2x+C\)

D. \(x^3+2x+C\)

Tổng của chuỗi \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac13\right)^n\) bằng

A. \(\dfrac12\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(\dfrac32\)

Cho \(f(x,y)=x^2y+e^y\). Giá trị \(f_x(1,2)\) bằng

A. \(4\)

B. \(2+e^2\)

C. \(2\)

D. \(4+e^2\)

Tính \(\displaystyle \int_0^1\int_0^2(x+y)\,dy\,dx\).

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(4\)

D. \(5\)

Nghiệm của bài toán \(y'=2y,\ y(0)=3\) là

A. \(y=2e^{3x}\)

B. \(y=3e^x\)

C. \(y=3e^{2x}\)

D. \(y=3+2x\)

Cho \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\) khi \(x\ne2\) và \(f(2)=m\). Giá trị nào của \(m\) làm \(f\) liên tục tại \(x=2\)?

A. \(-4\)

B. \(0\)

C. \(2\)

D. \(4\)

Dùng vi phân tại \(x=4\), giá trị gần đúng bậc nhất của \(\sqrt{4{,}04}\) là

A. \(2{,}01\)

B. \(2{,}001\)

C. \(2{,}02\)

D. \(2{,}1\)

Tính \(\displaystyle \int_0^1 2x\,dx\).

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(\dfrac12\)

D. \(0\)

Trong các chuỗi sau, chuỗi nào hội tụ?

A. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n\)

B. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{\sqrt n}\)

C. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}\)

D. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\)

Cho \(f(x,y)=x^2+y^2\). Gradient \(\nabla f(1,-2)\) bằng

A. \((1,-2)\)

B. \((2,4)\)

C. \((-2,4)\)

D. \((2,-4)\)

Giá trị \(\displaystyle \iint_D 1\,dA\), với \(D=\{(x,y):x^2+y^2\le1\}\), bằng

A. \(\pi\)

B. \(2\pi\)

C. \(\dfrac{\pi}{2}\)

D. \(1\)

Nghiệm của bài toán \(y'=x,\ y(0)=1\) là

A. \(y=1+x^2\)

B. \(y=1+\dfrac{x^2}{2}\)

C. \(y=x+1\)

D. \(y=\dfrac{x^2}{2}\)

Tính \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{\sin(3x)}\).

A. \(\dfrac32\)

B. \(1\)

C. \(\dfrac23\)

D. \(\dfrac53\)

Đường cong \(x^2+xy+y^2=7\) xác định hàm \(y=y(x)\) quanh điểm \((1,2)\). Giá trị \(y'(1)\) bằng

A. \(\dfrac45\)

B. \(-\dfrac54\)

C. \(\dfrac54\)

D. \(-\dfrac45\)

Tính \(\displaystyle \int_0^1 xe^{x^2}\,dx\).

A. \(\dfrac{e-1}{2}\)

B. \(e-1\)

C. \(\dfrac e2\)

D. \(\dfrac1{2e}\)

Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}x^n\) là

A. \(\dfrac12\)

B. \(2\)

C. \(1\)

D. \(+\infty\)

Cho \(f(x,y)=x^2+xy\). Đạo hàm của \(f\) tại \((1,2)\) theo hướng của vectơ \((3,4)\) bằng

A. \(4\)

B. \(16\)

C. \(\dfrac{16}{5}\)

D. \(\dfrac45\)

Cho \(D=\{(x,y):x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le1\}\). Tính \(\displaystyle \iint_D(x+y)\,dA\).

A. \(\dfrac12\)

B. \(\dfrac16\)

C. \(\dfrac23\)

D. \(\dfrac13\)

Nghiệm của bài toán \(y'+y=e^x,\ y(0)=0\) là

A. \(y=\dfrac{e^x-e^{-x}}2\)

B. \(y=e^x-e^{-x}\)

C. \(y=xe^{-x}\)

D. \(y=\dfrac{e^x+e^{-x}}2\)

Tính \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac3n\right)^n\).

A. \(3e\)

B. \(e^3\)

C. \(e\)

D. \(3\)

Cho \(f(x)=e^{2x}\sin x\). Giá trị \(f''(0)\) bằng

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(4\)

D. \(5\)

Với \(p\in\mathbb R\), tích phân suy rộng \(\displaystyle \int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p}\) hội tụ khi và chỉ khi

A. \(p\ge1\)

B. \(p<1\)

C. \(p\ne1\)

D. \(p>1\)

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\) là

A. \([-1,1)\)

B. \((-1,1)\)

C. \([-1,1]\)

D. \((-1,1]\)

Điểm dừng \((0,0)\) của hàm \(f(x,y)=x^2+2xy+3y^2\) là

A. điểm yên ngựa

B. điểm cực tiểu địa phương nghiêm ngặt

C. điểm cực đại địa phương nghiêm ngặt

D. không phải điểm dừng

Cho \(D=\{(x,y):x^2+y^2\le4\}\). Tính \(\displaystyle \iint_D(x^2+y^2)\,dA\).

A. \(4\pi\)

B. \(16\pi\)

C. \(8\pi\)

D. \(2\pi\)

Nghiệm của bài toán logistic \(y'=y(1-y),\ y(0)=\dfrac12\) là

A. \(y=\dfrac1{1+e^x}\)

B. \(y=\dfrac1{2+e^{-x}}\)

C. \(y=\dfrac12e^x\)

D. \(y=\dfrac1{1+e^{-x}}\)

Tính \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}}{x^3}\).

A. \(\dfrac13\)

B. \(-\dfrac13\)

C. \(\dfrac12\)

D. \(0\)

Gọi \(P_2(x)\) là đa thức Taylor bậc hai của \(f(x)=\ln x\) tại \(x=1\). Giá trị \(P_2(1{,}2)\) bằng

A. \(\dfrac{11}{50}\)

B. \(\dfrac9{50}\)

C. \(\dfrac15\)

D. \(\ln(1{,}2)\)

Tính \(\displaystyle \int_0^1\ln(1+x)\,dx\).

A. \(\ln2\)

B. \(2\ln2\)

C. \(2\ln2-1\)

D. \(1-2\ln2\)

Tính tổng \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}\).

A. \(1\)

B. \(3\)

C. \(4\)

D. \(2\)

Giá trị lớn nhất của \(f(x,y)=x+2y\) trên elip \(x^2+4y^2=4\) bằng

A. \(2\sqrt2\)

B. \(4\)

C. \(2\)

D. \(\sqrt2\)

Diện tích miền \(D=\{(x,y):|x+y|\le1,\ |x-y|\le1\}\) bằng

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(4\)

D. \(\sqrt2\)

Nghiệm của bài toán \(y''-3y'+2y=0,\ y(0)=0,\ y'(0)=1\) là

A. \(y=e^x-e^{2x}\)

B. \(y=e^{2x}+e^x\)

C. \(y=e^{2x}-e^x\)

D. \(y=xe^x\)

Tính \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\cos x-e^{-x^2/2}}{x^4}\).

A. \(\dfrac1{12}\)

B. \(-\dfrac18\)

C. \(0\)

D. \(-\dfrac1{12}\)

Cho \(f(x)=x+x^3\) và \(g=f^{-1}\). Biết \(f(1)=2\), giá trị \(g''(2)\) bằng

A. \(-\dfrac3{32}\)

B. \(\dfrac3{32}\)

C. \(-\dfrac3{16}\)

D. \(\dfrac3{16}\)

Tính \(\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{(1+x^2)^2}\).

A. \(\dfrac{\pi}{4}\)

B. \(\dfrac14+\dfrac{\pi}{8}\)

C. \(\dfrac12\)

D. \(\dfrac{\pi}{8}\)

Tính tổng \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}\).

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(6\)

D. \(8\)

Giá trị lớn nhất của \(f(x,y)=xy^2\) trên đường tròn \(x^2+y^2=3\) bằng

A. \(1\)

B. \(\dfrac{3\sqrt3}{2}\)

C. \(3\)

D. \(2\)